iOS14でピクチャ・イン・ピクチャ機能を使用する方法です。
事前準備
「設定」→「一般」→「ピクチャ・イン・ピクチャ」で「ピクチャ・イン・ピクチャを自動的」をオンにします。
使い方
執筆時点で確認できたのは、YouTube（ただし、Safari）、Amazon Prime Video、Netflixのみです。今後、対応が拡大されると思われます。
YouTube（ブラウザ）
YouTubeというよりも、ブラウザで埋め込み動画をピクチャ・イン・ピクチャにて再生する方法です。なお、動画の埋め込み方法によっては、ピクチャ・イン・ピクチャで再生できない場合もあるようです。
ピクチャ・イン・ピクチャで再生したい動画を開きます。全画面表示にしましょう。
フルスクリーンで再生されている状態で、ホームバーを上にスワイプします。（ホーム画面に戻る場合と同様です）
ピクチャ・イン・ピクチャモードで再生できました。
なお、ダブルタップで拡大・縮小ができます。15秒戻る、進む、一時停止など、フルスクリーンモードと同様の操作が可能です。
Amazon Prime Video（アプリ）
アプリが対応している場合、上記と同様の操作でピクチャ・イン・ピクチャで表示できます。フルスクリーン状態にして、ホーム画面に戻れば良いだけです。
まとめ
ダブルタップで拡大・縮小がわかると多少使いやすくなるかと思います。